ここで、わたしが考える数学の３原則を挙げます。

１．数学の目的は、我々が楽をするために編み出されたものである。

２．数学の諸分野は「こんなこといいな。できたらいいな」と誰かがどこかで考え、「じゃ、新しく作っちゃえ」としたものの集大成である。

３．数学の問題解法の鉄則は、上掲の目的を達するため、「３つのものを２つにして考える」「２つのものを１つにして考える」というように、できるだけ簡略な形にして考える。

数学とは、我々が楽をするために編み出されたものです。

ここでいう「楽をする」というのは、「少ない情報を手掛かりに多くの情報を手に入れることができる」という意味です。

例えば、

という三角形の区画にペンキ塗りの工事作業をすることを考えます。

ここで、この三角形の面積が計算で出るなら、作業の前に「必要なペンキの量はどのくらいか」「必要な作業員の数はどのくらいで、時間はどのくらいかかるか」というおおよその情報を得ることができます。

面積を計算せず、行き当たりばったりで作業をすれば、時間・かかるお金に大きな損失が出てしまいます。

こうした損失を未然に防ぐため、この三角形の面積を計算するには、（高さ）と（底辺）という「２つの情報」を得れば、（面積）＝（底辺）×（高さ）÷２となり、それだけ楽をすることができます。

また建築現場で、

右図のＸを求めようとした場合、三平方の定理により、Ｘ＝５０ｍと計算で求めることができ、わざわざ測量しなくてもよくなります。

よって作業が簡便かつ迅速になり、「楽をする」ことができます。

以上のように、数学のおかげで、わたしたちはよりよい生活を送れるのです。

数学の諸分野は「こんなこといいな。できたらいいな」と誰かがどこかで考え、「じゃ、新しく作っちゃえ」としたものの集大成です。

こういうのを見ると、世の中にはつくづく頭のいい人がいるものだと感嘆しきりです。

こうした集大成の中には、１より小さい数を１０等分単位で表すことを目的とした小数のように「作った意味が分かりやすい」ものもあれば、平方根、ベクトル、虚数のように「なぜこういうものが必要なの？」と感じるものもあります。

学年が進むほど「なぜこういうものが必要なの？」という分野は多くなります。

数学の問題を解く際は、「３つのものを２つにして考える」「２つのものを１つにして考える」というように、できるだけ簡略な形にして考えるというのが原則です。

例えば、秒速１０ｍと時速２０ｋｍはどちらが速いかという問題では、「秒速と時速」「ｍとｋｍ」は単位が違っているため、単純比較できません。

そこで両方の単位をそれぞれ「時速とｋｍ」に換算して比較します。

「秒速と時速」という２つの要素を１つに、「ｍとｋｍ」という２つの要素を１つにするという原則がここで生きています。

また

というような連立方程式はＸおよびＹという２つの文字よりなる式の中で、ＸまたはＹのいずれかの文字を消し、一方の文字の値を求めてから、他方を確立させます。

ここにも「２つのものを１つにして考える」という原則が生きています。

５＋６×３の答えを求めよ、という問題が出されると、５＋６×３＝５＋１８＝２３となり、掛け算・割り算は足し算・引き算に先んじて計算すべしと教えられます。

理由は説明されません。

「数学の約束」ということになっています。

ここでどうしてそういう約束があるのかを考えると、１つの結論に達します。

もし、上記のような約束がなければ、

２ａ＋４ａ＝６ａ

という計算ができなくなってしまうのです。

上の計算は、中学１年生で出てくるごく基本的なもので、何の気なしに計算して答えを出していますが、それもこれも「掛け算・割り算を足し算・引き算に優先させる」という約束があればこそできるのです。

なぜなら、

２ａ＋４ａ＝２×ａ＋４×ａ

なので、

この約束がなければ、

２ａ＋４ａ＝２×ａ＋４×ａ＝（２ａ＋４）×ａ＝２ａ^2＋４ａ（＾は累乗を意味します）

などという答えも可能になってしまいます。

それでは不都合極まりないことです。

この「掛け算・割り算を足し算・引き算に優先させる」にもこうした深いわけがあるのです。

「あなたの点数は０点です」「わたしの取り分は０です」と言えば、通常「何もない」ことを意味します。

しかし数学では０＝「何もない nothing」という意味では必ずしもありません。

例えば、気温０℃というのは、「気温がない」という意味ではありません。

この０℃は水の融点ですから、０＝「何もない」ということではなく、「基準点」という意味です。

とすれば、−１℃が「基準点」より１℃下回る温度になるというのも納得がいきます。

上記で０（零）は「何もない」という意味のみならず、「基準点」であることも学びました。

それを受けて、マイナスの数をここで登場させます。

ここで０を「基準点」、「基準点」を下回る数をマイナス、「基準点」を上回る数をプラスと定義します。

すると、数が一気に小さくなって、計算しやすくなります。

以下の例を見てください。

＜表①＞

この点数につき、８０点を基準すなわち０と考えると、＜表①＞は次のように変身します。

＜表②＞

こうすることで、２ケタの数が１ケタに化けます。

いま、５教科の平均を求めてみます。

①より

（８２＋８１＋７５＋７７＋８４）÷５＝７９．８
ここで②の表を使うと２＋１−５−３＋４＝−１

８０点を基準としているので、平均は８０−１／５＝７９．８となり、計算が容易です。

以上のごとく、マイナスという概念を使うことで、数が小さくなり、より「簡単に」なるのです。

小学校で習う通り、

０÷３＝０

となりますが、

３÷０

の答えは存在しません。

 

そうなる理由は以下のように説明されます。

リンゴ０個を３人で等分すると、１人当たりのリンゴの数は０個です。

ないものは等分しても０ですから、

０÷３＝０

です。

 

また、リンゴを０人で等分すると、１人当たりのリンゴの数は.....

分配すべき人が誰もいないのに、「１人当たりのリンゴの数」は計算できませんから、３÷０の答えは存在しません.....

というのが根拠です。

 

小学校のうちは３÷０を計算せよ、などという計算問題は出ることはありませんが、（ひねくれた数学の先生であれば、「解なし」という答えをもって「正解」とする、ということは考えられなくもないですが.....）注意すべきは特に高校以降の数学です。

数式を扱う際には、分母＝０とならないように場合分けをするなど、しかるべき処理をしなくてはなりません。

ここで分母＝０にからんで興味深い教科書の記述があります。

中３に出てくる２次方程式のところで、以下のような問いが出てきます。

 

＜問題＞

X^2+4x=0を解け

◎解法

X^2+4x=0

x^2= -4X

両辺をＸで割って

解は

Ｘ＝−４

→この解法の誤りを指摘せよ

 

「教科書ガイド」に掲載されていた本問に対する模範解答は以下のとおりです。

＜解答＞

両辺でＸを割るのは、Ｘ＝０の場合も含まれるため不可。

よって左辺＝０にして以下のようにして因数分解して解を得る。

Ｘ^２＋４Ｘ＝０

Ｘ（Ｘ＋４）＝０

Ｘ＝０，　Ｘ＝−４

 

この模範解答において、Ｘ＝０の場合が含まれるというのはそのとおりですが、Ｘ＝０の場合が含まれるから因数分解をしないと解が得られないということはありません。

実はこの方程式は因数分解を用いなくとも解けます。

解き方は以下のとおりです。

 

Ｘ^２＋４Ｘ＝０

Ｘ^２＝−４Ｘ

（ア）Ｘ≠０のとき

両辺をＸで割って　Ｘ＝−４

（イ）Ｘ＝０のとき

Ｘ＝０を両辺に代入してもこの式は成り立つので、これも解。

以上より、

Ｘ＝０，　Ｘ＝−４

平方根にはいろいろな使い道があります。

その中で大きいのが、二次方程式の解を「簡単な形」で表すことができるということにあります。

では、二次方程式が解けるとどのような「よいこと」があるのでしょうか。

応用範囲は非常に広いですが、ここでは、上掲の図を再び使って説明します。

＜図１＞

ここで、＜図１＞のＸは三平方の定理より

Ｘ^２＝４０^２−３０^２＝２５００

Ｘ＞０より

Ｘ＝５０です。

＜図２＞

＜図２＞においては

Ｘ^２＝２×２−１×１＝３

Ｘ＞０より

Ｘ＝√３となります。

 

これでＸの箇所は実際に測量する必要がなく、計算ができるので、楽をすることができます。

もっとも√３はどういう数だか分からず、近似値として

√３＝１．７３０５０８.....

という数が与えられており、実務上はそちらを使います。

実務の上では近似値を使うのに、数学で根号を用いるのにはいくつかの理由があります。

ここでは２つ挙げます。

第一に、数学はあくまで基礎理論であって、数学という論理上の正確さは求められても、実務の上でいかにそれを応用・利用するかについては、思考の範疇の外にあるからです。

早い話、数学は「理屈」が正しければよく、実務でどう使うかということまでは想定していません。

第二に根号を使うことで、

√４８＋√１２＝４√３＋２√３＝６√３

√１０×√１５＝５√６

のように「より簡単な形」にまとめることができるということです。

ということは、近似値を求める際にも、より正確な近似値が出ます。

例えば

√１０＝3.162277660

√１５＝3.872983346

√６＝2.449489743

とすると、

√１０×√１５＝3.162277660×3.872983346＝12.247448714

５√６＝５×2.449489743＝12.247748715

となり、小数点の端数を考えると計算するのも楽ですし、より理論値に近いものが求められます。

高校生になると、数学で三角関数を取り扱います。

この分野に入ると、多くの生徒さんが困惑します。

というのも、sin, cos, tanがなぜこのような決め方をしたのか、教科書には書いていないからです。

まず、三角関数のsin, cos, tanの意味は、単位円において

 

となるように、

cosθはX座標そのもの

sinθはY座標そのもの

tanθは直線OAの傾きそのもの

を表します。

 

三角関数の要諦は、「三角関数を仲立ちにして、平面上の任意の点を一括管理できる」ということです。

例えば、（３，４）という点は、上手のように（３，４）＝（５cosθ，５sinθ）とすることができます。

 

X=３、Y＝４という全くバラバラな数が、それぞれ、三角関数の中に組み込まれます。

（３，４）＝（５cosθ，５sinθ）となると、

 

sinθ^2＋cosθ^2=1

 

という公式を使って、sinθもしくはcosθだけで表すことができます。

 

ということは、（X,Y)＝（３，４）という、X・Yそれぞれバラバラな数字が、三角関数を仲立ちにして一括管理できます。

一括管理できるということは、２つのことを1つにまとめて考えることができ、それだけ楽ができるのです。

 

しかも

という公式を使えば、当該（X,Y)の点と原点との傾きまで求められます。

さらにθを動かすことで、点や線、回転移動、平行移動もより容易に考えることができます。

この分野はベクトルや行列と特に関係の深い分野です。

三角関数において、その効用は、平面上の任意の点（X,Y)を一括管理できることにあると述べました。

ここで、余弦定理を使うと、三角形の辺も三角関数で一括管理できます。

一括管理できるということは、２つのことを１つにまとめて考えることができ、その分だけ楽ができます。

上図においては、辺ａ，ｂ，ｃからcosBの値が出て、よってBの値が出ます。

同様にして他の角も出てしまうという使い勝手のよい公式です。

この公式は加法定理にも応用されるなど、幅広く使われています。